Calcule integral duplaS x y z d S, onde S é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,2,0) e (0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaS x y z , dS, onde S é o triângulo com vértices em (1,0,0), (0,2,0) e (0,1,1). Aqui, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com integrais de superfície. Para resolver, precisamos parametrizar a superfície S, calcular o elemento de área dS e, por fim, integrar a função x y z sobre essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o triângulo S. Observando os vértices, podemos escolher um ponto de origem e expressar os demais pontos em termos de vetores. Vamos usar (0,2,0) como origem para facilitar. Então, definimos dois vetores que vão de (0,2,0) aos outros vértices:
u = (1,0,0) - (0,2,0) = (1,-2,0)
v = (0,1,1) - (0,2,0) = (0,-1,1)
Agora, qualquer ponto P no triângulo pode ser escrito como:
P(u,v) = (0,2,0) + uu + vv = (0 + u cdot 1 + v cdot 0, 2 + u cdot (-2) + v cdot (-1), 0 + u cdot 0 + v cdot 1)
P(u,v) = (u, 2 - 2u - v, v)
Aqui, u e v variam de 0 a 1, com a condição que u + v <= 1 para ficar dentro do triângulo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície para calcular o elemento de área dS. Usamos o produto vetorial dos vetores u e v:
n = u times v = i & j & k 1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 = i(-2 cdot 1 - 0 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(1 cdot (-1) - (-2) cdot 0)
n = (-2)i - (1)j - (1)k = (-2, -1, -1)
O módulo desse vetor nos dá a área do paralelogramo formado por u e v, mas como queremos a área do triângulo, usamos metade desse valor. Portanto:
dS = 12 |n| , du , dv = 12 raiz(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 , du , dv = 12 raiz4 + 1 + 1 , du , dv = 12 raiz6 , du , dv

Passo 4

Agora, expressamos a função f(x,y,z) = x y z em termos de u e v utilizando a parametrização que encontramos:
x = u
y = 2 - 2u - v
z = v
Então:
f(u,v) = u (2 - 2u - v) v = u v (2 - 2u - v)

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla substituindo tudo que encontramos:
integral duplaS x y z , dS = integral duplaD u v (2 - 2u - v) cdot 12 raiz6 , du , dv
= raiz62 integral duplaD u v (2 - 2u - v) , du , dv
Onde D é a região no plano uv definida por 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1 - u.

Passo 6

Vamos expandir a função dentro da integral:
u v (2 - 2u - v) = 2u v - 2u^2 v - u v^2
Portanto, a integral fica:
raiz62 ( integral0^1 integral0^1 - u (2u v - 2u^2 v - u v^2) , dv , du )

Passo 7

Vamos integrar em relação a v primeiro:
integral0^1 - u 2u v , dv = 2u [ v^22 ]0^1 - u = 2u cdot (1 - u)^22 = u (1 - u)^2
integral0^1 - u -2u^2 v , dv = -2u^2 [ v^22 ]0^1 - u = -2u^2 cdot (1 - u)^22 = -u^2 (1 - u)^2
integral0^1 - u -u v^2 , dv = -u [ v^33 ]0^1 - u = -u cdot (1 - u)^33 = -u (1 - u)^33
Somando tudo:
u (1 - u)^2 - u^2 (1 - u)^2 - u (1 - u)^33 = u(1 - u)^2 (1 - u - 1 - u3) = u(1 - u)^2 (23) = 2u (1 - u)^23

Passo 8

Agora, integramos em relação a u:
raiz62 cdot 23 integral0^1 u (1 - u)^2 , du = raiz63 integral0^1 u (1 - 2u + u^2) , du
= raiz63 integral0^1 (u - 2u^2 + u^3) , du = raiz63 [ u^22 - 2u^33 + u^44 ]0^1
= raiz63 ( 12 - 23 + 14 ) = raiz63 ( 612 - 812 + 312 ) = raiz63 ( 112 ) = raiz636

Resposta

O valor da integral dupla é raiz636.

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