Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde é o triângulo com vértices em , e . Aqui, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com integrais de superfície. Para resolver, precisamos parametrizar a superfície , calcular o elemento de área e, por fim, integrar a função sobre essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o triângulo . Observando os vértices, podemos escolher um ponto de origem e expressar os demais pontos em termos de vetores. Vamos usar como origem para facilitar. Então, definimos dois vetores que vão de aos outros vértices:
Agora, qualquer ponto no triângulo pode ser escrito como:
Aqui, e variam de 0 a 1, com a condição que para ficar dentro do triângulo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície para calcular o elemento de área . Usamos o produto vetorial dos vetores e :
n = (-2)i - (1)j - (1)k = (-2, -1, -1)
O módulo desse vetor nos dá a área do paralelogramo formado por u e v, mas como queremos a área do triângulo, usamos metade desse valor. Portanto:
dS = 12 |n| , du , dv = 12 raiz(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 , du , dv = 12 raiz4 + 1 + 1 , du , dv = 12 raiz6 , du , dv
Passo 4
Agora, expressamos a função f(x,y,z) = x y z em termos de u e v utilizando a parametrização que encontramos:
x = u
y = 2 - 2u - v
z = v
Então:
f(u,v) = u (2 - 2u - v) v = u v (2 - 2u - v)
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla substituindo tudo que encontramos:
integral duplaS x y z , dS = integral duplaD u v (2 - 2u - v) cdot 12 raiz6 , du , dv
= raiz62 integral duplaD u v (2 - 2u - v) , du , dv
Onde D é a região no plano uv definida por 0 <= u <= 1, 0 <= v <= 1 - u.
Passo 6
Vamos expandir a função dentro da integral:
u v (2 - 2u - v) = 2u v - 2u^2 v - u v^2
Portanto, a integral fica:
raiz62 ( integral0^1 integral0^1 - u (2u v - 2u^2 v - u v^2) , dv , du )
Passo 7
Vamos integrar em relação a v primeiro:
integral0^1 - u 2u v , dv = 2u [ v^22 ]0^1 - u = 2u cdot (1 - u)^22 = u (1 - u)^2
integral0^1 - u -2u^2 v , dv = -2u^2 [ v^22 ]0^1 - u = -2u^2 cdot (1 - u)^22 = -u^2 (1 - u)^2
integral0^1 - u -u v^2 , dv = -u [ v^33 ]0^1 - u = -u cdot (1 - u)^33 = -u (1 - u)^33