Calcule \int_{C} f d s para as funções e curvas indicadas abaixo:
f(x, y, z)=x e^{y z}, onde C é o segmento de reta \mathrm{AB}, \operatorname{com} A(0,0,0) e B(1,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha de uma função escalar ao longo de um segmento de reta. O conteúdo aqui é integral de linha de f(x,y,z) em relação ao comprimento de arco ds. Para resolver, vamos parametrizar a curva C, expressar f e ds em função do parâmetro e depois integrar.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta de A(0,0,0) a B(1,-1,3) por
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,\,-t,\,3t),\quad 0\le t\le1.
Então
\mathbf{r}'(t) = (1,-1,3),
e o comprimento de arco elementar é
ds = \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt = \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\,dt = \sqrt{11}\,dt.

Passo 3

Na parametrização, temos
f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = t\,e^{(-t)(3t)} = t\,e^{-3t^2}.
Assim a integral fica
\int_C f\,ds = \int_{0}^{1} \bigl[t\,e^{-3t^2}\bigr]\;\bigl[\sqrt{11}\,dt\bigr] = \sqrt{11}\int_{0}^{1} t\,e^{-3t^2}\,dt.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} t\,e^{-3t^2}\,dt, fazemos u=-3t^2, du=-6t\,dt, logo t\,dt=-\tfrac{1}{6}du. Assim
\int_{0}^{1} t\,e^{-3t^2}\,dt = -\tfrac{1}{6}\int_{u(0)=0}^{u(1)=-3} e^{u}\,du = -\tfrac{1}{6}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{-3} = \tfrac{1}{6}\bigl(1 - e^{-3}\bigr).
Multiplicando por \sqrt{11}, obtemos
\int_{C}f\,ds = \frac{\sqrt{11}}{6}\bigl(1 - e^{-3}\bigr).

Resposta

\int_{C}f\,ds = \frac{\sqrt{11}}{6}\bigl(1 - e^{-3}\bigr).

Exercícios relacionados