Calcule a área da porção da esfera unitária que é cortada pelo cone .
Passo 1
Beleza, vamos tirar esse exercício do que a gente vai precisar. A pergunta é calcular a área da parte da esfera unitária que é cortada pelo cone . Aqui estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com áreas de superfícies em esferas e cones. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e um pouquinho de cálculo, principalmente integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cone . Podemos reescrever isso em coordenadas esféricas. Na esfera, usamos os ângulos (o ângulo polar) e (o ângulo azimutal). A equação do cone nos diz que , o que significa que apenas queremos a parte da esfera onde o ângulo é menor ou igual a (45 graus).
Passo 3
Agora, lembrando que a área de uma superfície esférica é dada pela integral da área diferencial . Como a esfera é unitária, o raio .
Passo 4
Para achar a área da região que queremos, vamos integrar onde vai de 0 a e vai de 0 a (cobrindo toda a volta ao redor do z).
Passo 5
Fazendo a integral:
Primeiro, integra em :
Passo 6
Agora, integra em :
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A área da porção da esfera unitária cortada pelo cone é .