Calcule integral duplaS x^2 z d S onde S é a porção do cone z^2=x^2+y^2 que fica acima do disco D: 0 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde é a parte do cone definido por que fica acima do disco com . Basicamente, queremos somar os valores de em toda a superfície do cone que está sobre esse disco. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como calcular a área da superfície do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares porque o domínio x = r costheta y = r sintheta z = r é um disco, o que facilita bastante. Lembrando que em coordenadas polares temos:
Aqui, varia de 0 a 2 (já que significa ) e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, x^2 z = (r costheta)^2 cdot r = r^3 cos^2theta , em coordenadas polares:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Além disso, precisamos calcular o elemento de área partial zpartial x = costheta partial zpartial y = sintheta na superfície do cone. Para isso, usamos a fórmula:
dS = raiz1 + cos^2theta + sin^2theta cdot r , dr , dtheta = raiz2 cdot r , dr , dtheta
No caso do cone , derivando em relação a e , temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, juntando tudo, nossa integral fica:
integral duplaS x^2 z , dS = integral0^2pi integral0^2 r^3 cos^2theta cdot raiz2 cdot r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi cos^2theta integral0^2 r^4 , dr , dtheta
Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. Integração em integral0^2 r^4 , dr = [r^55]0^2 = 325 :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
  1. Integração em :
(Usamos o fato de que )

Resposta

Finalizando, multiplicamos tudo:
raiz2 cdot 325 cdot pi = 32 raiz2 pi5
Então, o valor da integral dupla é .

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