Calcule
onde
é a porção do cone
que fica acima do disco
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla
, onde
é a parte do cone definido por
que fica acima do disco
com
. Basicamente, queremos somar os valores de
em toda a superfície do cone que está sobre esse disco. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como calcular a área da superfície do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos converter tudo para coordenadas polares porque o domínio
é um disco, o que facilita bastante. Lembrando que em coordenadas polares temos:
Aqui,
varia de 0 a 2 (já que
significa
) e
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar,
, em coordenadas polares:
Além disso, precisamos calcular o elemento de área
na superfície do cone. Para isso, usamos a fórmula:
No caso do cone
, derivando em relação a
e
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, juntando tudo, nossa integral fica:
Vamos calcular as integrais separadamente:
- Integração em
:
- Integração em
:
(Usamos o fato de que
)
Resposta
Finalizando, multiplicamos tudo:
Então, o valor da integral dupla é
.