É verdadeiro ou falso?
Se f: R -> R é contínua e 2 L-periódica, então a série de Fourier de f converge a f.

Passo 1

Vamos lá! Você me apresentou uma afirmação para verificar se é verdadeira ou falsa. O enunciado diz:
“Se é contínua e 2 -periódica, então a série de Fourier de converge a .”
Estamos trabalhando com Análise de Fourier, que estuda como funções periódicas podem ser representadas por somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos revisar conceitos de continuidade, periodicidade e convergência das séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser 2 -periódica. Isso quer dizer que a função se repete a cada intervalo de comprimento . Matematicamente, para todo .

Passo 3

Agora, sobre a continuidade de . Uma função contínua não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Isso é importante para garantirmos que a série de Fourier se comporte bem e se aproxime de de forma suave.

Passo 4

A série de Fourier de uma função periódica de período é dada por:
onde os coeficientes e são calculados de acordo com fórmulas específicas que dependem da função .

Passo 5

O próximo ponto é a convergência da série de Fourier para a função . Um dos teoremas fundamentais da análise de Fourier afirma que se é contínua e periódica, então a série de Fourier converge uniformemente para em todo o seu domínio.

Passo 6

Portanto, dado que é contínua e 2 -periódica, podemos aplicar esse teorema diretamente. Isso garante que a série de Fourier de vai se aproximar cada vez mais de em qualquer ponto do intervalo considerado.

Resposta

Verdadeiro. Se é contínua e 2 -periódica, então a série de Fourier de converge para .

Exercícios relacionados