É verdadeiro ou falso?
Se
é contínua e
-periódica, então a série de Fourier de
converge a
.
Se
Passo 1
Vamos lá! Você me apresentou uma afirmação para verificar se é verdadeira ou falsa. O enunciado diz:
“Se
é contínua e 2
-periódica, então a série de Fourier de
converge a
.”
Estamos trabalhando com Análise de Fourier, que estuda como funções periódicas podem ser representadas por somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos revisar conceitos de continuidade, periodicidade e convergência das séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser 2
-periódica. Isso quer dizer que a função se repete a cada intervalo de comprimento
. Matematicamente,
para todo
.
Passo 3
Agora, sobre a continuidade de
. Uma função contínua não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Isso é importante para garantirmos que a série de Fourier se comporte bem e se aproxime de
de forma suave.
Passo 4
A série de Fourier de uma função
periódica de período
é dada por:
onde os coeficientes
e
são calculados de acordo com fórmulas específicas que dependem da função
.
Passo 5
O próximo ponto é a convergência da série de Fourier para a função
. Um dos teoremas fundamentais da análise de Fourier afirma que se
é contínua e periódica, então a série de Fourier converge uniformemente para
em todo o seu domínio.
Passo 6
Portanto, dado que
é contínua e 2
-periódica, podemos aplicar esse teorema diretamente. Isso garante que a série de Fourier de
vai se aproximar cada vez mais de
em qualquer ponto do intervalo considerado.
Resposta
Verdadeiro. Se
é contínua e 2
-periódica, então a série de Fourier de
converge para
.