Calcule os seguintes limites, caso existam:
£ © lim x 0 x-sen 3 x4 sen 3 x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites e de como a função seno se comporta próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Nossa meta é simplificar essa fração para conseguir calcular o limite quando x - sen(3x)4 sen(3x) se aproxima de 0.

Passo 3

Sabemos que, quando sen(3x) approx 3x está bem perto de 0, a função seno pode ser aproximada pela própria variável multiplicada por seu fator angular. Ou seja:
Essa é uma simplificação que vem da série de Taylor para o seno, onde os termos de ordem superior (como ) são desprezados quando é muito pequeno.

Passo 4

Com essa aproximação, substituímos por x - 3x4 cdot 3x = -2x12x na nossa expressão original:
Aqui, simplificamos o numerador para e o denominador para .

Passo 5

Agora, simplificamos a fração -212 = -16 . Observamos que está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los:

Resposta

O limite é igual a .

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