Calcule os seguintes limites, caso existam:
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites e de como a função seno se comporta próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Nossa meta é simplificar essa fração para conseguir calcular o limite quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Sabemos que, quando
está bem perto de 0, a função seno pode ser aproximada pela própria variável multiplicada por seu fator angular. Ou seja:
Essa é uma simplificação que vem da série de Taylor para o seno, onde os termos de ordem superior (como
) são desprezados quando
é muito pequeno.
Passo 4
Com essa aproximação, substituímos por
na nossa expressão original:
Aqui, simplificamos o numerador
para
e o denominador
para
.
Passo 5
Agora, simplificamos a fração
. Observamos que
está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los:
Resposta
O limite é igual a
.