Encontre a série de Fourier de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função
, que é uma função periódica definida por partes no intervalo
e que se repete a cada 2 unidades. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem expressar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que
, então o período
é 2. A frequência angular básica
é dada por:
Passo 3
A série de Fourier geral para uma função par com período
pode ser escrita como:
Como nossa função
é ímpar ou par? Observando a definição,
para
e
para
, não é nem par nem ímpar. Portanto, precisamos calcular ambos os coeficientes
e
.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Calculando as integrais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando propriedades de simetria, mas para simplificar, vamos seguir em frente e observar que, devido à simetria da função, alguns coeficientes
podem ser zero.
Passo 6
Em seguida, calculamos os coeficientes
para
:
Novamente, essas integrais podem exigir técnicas mais avançadas, mas devido à simetria ímpar da função seno, alguns termos podem simplificar.
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier para
será:
Com os coeficientes
e os
,
calculados nos passos anteriores.
Resposta
A série de Fourier de
é:
onde os coeficientes
e
são determinados pelas integrais específicas para cada
conforme calculado nos passos anteriores.