Calcule a área da porção do hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, interior ao cilindro x^2+y^2=y.

Passo 1

Resumindo, queremos a área da parte do hemisfério
x^2+y^2+z^2=1, z>=0
que fica dentro do cilindro
x^2+y^2=y
O conteúdo é integral de superfície e vamos usar a projeção no plano xy com coordenadas polares para simplificar a região de integração.

Passo 2

Como o hemisfério pode ser escrito como grafo
z = raiz1 - x^2 - y^2,
sabemos que o elemento de área é
dS = raiz1 + l(partialx zr)^2 + l(partialy zr)^2,dx,dy = dx,dyraiz1 - x^2 - y^2
Portanto a área é
integral duplaD dx,dyraiz1 - x^2 - y^2,
onde D é a projeção no xy.

Passo 3

A condição x^2+y^2 <= y define em polares
r^2 <= rsintheta Longrightarrow 0 <= r <= sintheta,
desde que sintheta>=0, ou seja thetain[0,pi]. Assim
área = integraltheta=0^pi integralr=0^sintheta rraiz1 - r^2 ,dr,dtheta á

Passo 4

Calculamos primeiro
integral0^sintheta rraiz1 - r^2,dr
Fazendo u = 1 - r^2, vem
integral rraiz1 - r^2,dr = -raiz1 - r^2,
logo, de 0 a sintheta,
integral0^sintheta rraiz1 - r^2,dr = l[-raiz1 - r^2r]0^sintheta = 1 - l|costhetar|

Passo 5

Falta agora
integral0^pil(1 - |costheta|r),dtheta =integral0^pi1,dtheta -integral0^pi|costheta|,dtheta =pi - 2,
pois integral0^pi|costheta|,dtheta=2.

Resposta

A área da porção do hemisfério é pi - 2.

Exercícios relacionados