Calcule a área da porção do hemisfério
, interior ao cilindro
.
Passo 1
Resumindo, queremos a área da parte do hemisfério
que fica dentro do cilindro
O conteúdo é integral de superfície e vamos usar a projeção no plano
com coordenadas polares para simplificar a região de integração.
Passo 2
Como o hemisfério pode ser escrito como grafo
sabemos que o elemento de área é
Portanto a área é
onde
é a projeção no
.
Passo 3
A condição
define em polares
desde que
, ou seja
. Assim
Passo 4
Calculamos primeiro
Fazendo
, vem
logo, de
a
,
Passo 5
Falta agora
pois
integral0^pi|costheta|,dtheta=2 .
Resposta
A área da porção do hemisfério é
pi - 2 .