Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
integral1^e integral0^lrx y dydx

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral1^eintegral0^ln xy,dy,dx
e pede para inverter a ordem de integração e calcular o valor.

Passo 2

Descrimos a região de integração no plano (x,y):
D=(x,y)mid 1<= x<= e,;0<= y<= ln x

Passo 3

Projetando D no eixo y, vemos que y vai de 0 até ln e=1. Para cada y fixo, a condição y<= ln x é equivalente a x>= e^y, e há também x<= e. Assim a integral invertida é
integraly=0^1integralx=e^y^ey,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integralx=e^y^ey,dx = yl[xr]e^y^e = y,(e-e^y)

Passo 5

Substituindo na integral externa,
integral0^1y,(e-e^y),dy = eintegral0^1y,dy ;-;integral0^1y,e^y,dy

Passo 6

Temos
integral0^1y,dy=12
e, por partes em integral0^1y,e^y,dy (com u=y, dv=e^y,dy),
integral0^1y,e^y,dy =l[y,e^yr]0^1-integral0^1e^y,dy = e-(e-1) =1
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ecdot12-1=e2-1

Resposta

e2-1

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