Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty arctg nn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty arctan nn
e determinar se ela converge ou diverge usando o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite. O ponto principal é comparar arctan nn com uma série mais simples, como a série harmônica sum 1/n.

Passo 2

Observamos que a função arctan x é crescente e tem limite finito quando xtoinfty:
limntoinftyarctan n = pi2
Isso sugere que, para n grande, arctan n se comporta como uma constante próxima de pi/2.

Passo 3

Aplicando o Teste da Comparação no Limite com
an = arctan nn, bn = 1n,
calculamos
L = limntoinfty anbn = limntoinfty arctan nn,g/1n = limntoinftyarctan n = pi2
Como 0 < L < infty, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
sumn=1^infty1n
é divergente. Pelo resultado do Teste da Comparação no Limite, a série
sumn=1^inftyarctan nn
também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyarctan nn diverge.

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