Calcule a área da porção da superfície S do cone z^{2}=x^{2}+y^{2}(z \geq 0), situada dentro do cilindro (x-2)^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície S do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2},\quad z\ge0
que está dentro do cilindro
(x-2)^{2}+y^{2}=1.
O método é usar a fórmula de área de gráfico z=f(x,y):
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA,Á
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},
e o domínio projetado
D=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+y^{2}\le1\}.
Portanto
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.Á

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad f_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Logo
1+f_x^2+f_y^2 =1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} =2,
e o integrando fica constante igual a \sqrt{2}.

Passo 4

A área de D é a área de um círculo de raio 1, ou seja \pi. Então
\text{Área}(S) =\iint_{D}\sqrt{2}\,dA =\sqrt{2}\,\text{Área}(D) =\sqrt{2}\,\pi.ÁÁ

Resposta

\pi\sqrt{2}

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