Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1^{ \pm \infty} é um símbolo de indeterminação.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{2 x+3}{2 x+1}\right)^{x+1}

Passo 1

Resumindo: queremos calcular
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{2x+3}{2x+1}\Bigr)^{x+1}.
Percebemos que a base tende a 1 e o expoente tende a -\infty, caracterizando a indeterminação do tipo 1^{\pm\infty}. Para lidar com isso, vamos usar logaritmo natural e a exponencial.

Passo 2

Verificamos o comportamento da base:
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x+3}{2x+1} =\frac{2}{2}=1,
logo de fato temos uma forma indeterminada 1^{-\infty}.

Passo 3

Definimos
L=\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\tfrac{2x+3}{2x+1}\Bigr)^{x+1}.
Então usamos
L=\exp\Bigl(\lim_{x\to -\infty}(x+1)\,\ln\bigl(\tfrac{2x+3}{2x+1}\bigr)\Bigr),
isto é, basta calcular o limite do expoente.

Passo 4

Dentro do logaritmo, escrevemos
\ln\Bigl(\frac{2x+3}{2x+1}\Bigr) =\ln\Bigl(1+\frac{2}{2x+1}\Bigr).
Note que, quando x\to -\infty, o termo \tfrac{2}{2x+1}\to0.

Passo 5

Para o expoente consideramos
E(x)=(x+1)\ln\Bigl(1+\tfrac{2}{2x+1}\Bigr).
Como \ln(1+u)\sim u para u\to0, com u=\tfrac{2}{2x+1}, temos
E(x)\sim(x+1)\,\frac{2}{2x+1}.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}E(x) =2\cdot\lim_{x\to -\infty}\frac{x+1}{2x+1} =2\cdot\frac12 =1.

Passo 6

Como o limite do expoente é 1, obtemos
L=\exp(1)=e.

Resposta

e

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