Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1^{ \pm \infty} é um símbolo de indeterminação.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3 x+1}{2 x+3}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{3x+1}{2x+3}\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolve limites de função racional e potência com expoente que vai a +\infty. A ideia é primeiro achar
\lim_{x\to+\infty}(3x+1)/(2x+3)
e depois usar que, se a base tende a um valor maior que 1 e o expoente tende a +\infty, a potência diverge para +\infty.

Passo 2

Calculemos o limite da base:
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{2x+3} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\,(3+1/x)}{x\,(2+3/x)} =\frac{3+0}{2+0} =\frac{3}{2}.

Passo 3

Como
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{2x+3}=\tfrac{3}{2}>1
e o expoente x\to+\infty, para x grande a base fica acima de 1 e portanto
\bigl(\tfrac{3x+1}{2x+3}\bigr)^x\to+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados