Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1^{ \pm \infty} é um símbolo de indeterminação.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}
Sugestão. Para contornar a indeterminação 1^{+\infty}, faça \frac{x}{1+x}=1+\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr)^{x},
que é da forma indeterminada 1^{+\infty}. Vamos usar o método do logaritmo para converter em uma indeterminação do tipo \infty\cdot0 e depois aplicar exponenciação.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr)^{x}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x\;\ln\!\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr).
Note que
\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x},
logo
\ln\!\Bigl(\tfrac{x}{1+x}\Bigr) = \ln\Bigl(1 - \tfrac{1}{1+x}\Bigr).

Passo 3

Para avaliar
\lim_{x\to+\infty} x\,\ln\Bigl(1 - \tfrac{1}{1+x}\Bigr),
fazemos a substituição t = x+1, de modo que x = t-1 e quando x\to\infty temos t\to\infty. Então
x\,\ln\Bigl(1 - \tfrac{1}{1+x}\Bigr) = (t-1)\,\ln\Bigl(1 - \tfrac{1}{t}\Bigr).
Usando a expansão \ln(1 - u) = -u - \tfrac{u^2}{2} + o(u^2) quando u\to0, com u=1/t, vem
\ln\Bigl(1 - \tfrac{1}{t}\Bigr) = -\frac{1}{t} - \frac{1}{2t^2} + o\bigl(\tfrac1{t^2}\bigr).
Multiplicando por (t-1):
(t-1)\Bigl(-\tfrac{1}{t} - \tfrac{1}{2t^2} + o(\tfrac1{t^2})\Bigr) = -1 + \frac{1}{t} - \frac{1}{2t} + o(\tfrac1t) \;\longrightarrow\;-1.
Portanto
\ln L = -1.

Passo 4

Voltando de \ln L para L, temos
L = e^{\ln L} = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

Exercícios relacionados