Calcule os seguintes limites. Lembre-se que 1^{ \pm \infty} é um símbolo de indeterminação.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}
Sugestão. Para contornar a indeterminação 1^{+\infty}, faça 1+\frac{2}{x}=1+\frac{1}{y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)^{x}
que é uma indeterminação do tipo 1^{+\infty}. Vamos usar uma mudança de variável para transformar essa potência num limite exponencial clássico.

Passo 2

Definimos a nova variável y tal que
1+\tfrac{2}{x}=1+\tfrac{1}{y}.
Isso implica
\tfrac{2}{x}=\tfrac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad x=2y.
Quando x\to+\infty, segue que y\to+\infty.

Passo 3

Reescrevendo a expressão em função de y, temos
\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\tfrac{1}{y}\Bigr)^{2y} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{y}\bigr)^{y}\Bigr]^{2}.
Sabemos o limite fundamental
\lim_{y\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{y}\Bigr)^{y}=e.
Logo
\lim_{y\to+\infty}\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{y}\bigr)^{y}\Bigr]^{2} =(e)^{2}=e^{2}.

Resposta

e^{2}

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