Calcule a área da região R em cada item:
R é a região entre as curvas x=3 e x=y^2-1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
x = y^2 - 1
e
x = 3
Como essas curvas estão expressas em x como função de y, vamos integrar em relação a y a diferença entre a abscissa da direita e a da esquerda.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção, resolvendo
3 = y^2 - 1
Somando 1 em ambos os lados, obtemos
y^2 = 4
Logo
y = pm 2
Assim, a região vai de y=-2 a y=2.

Passo 3

Montar o integral da área. Para cada valor de y entre -2 e 2, a largura horizontal é
xdireita - xesquerda = 3 - (y^2 - 1) = 4 - y^2
Portanto, a área é
Área = integraly=-2^2 l(4 - y^2r),dy Á

Passo 4

Calcular o integral:
integral-2^2 (4 - y^2),dy = integral-2^24,dy ;-;integral-2^2y^2,dy
Primeiro termo:
integral-2^24,dy = 4l[yr]-2^2 = 4(2 - (-2)) = 16
Segundo termo, como y^2 é par,
integral-2^2y^2,dy = 2integral0^2y^2,dy = 2l[tfracy^33r]0^2 = 2cdot tfrac83 = tfrac163
Subtraindo,
Área = 16 - tfrac163 = tfrac483 - tfrac163 = tfrac323 Á

Resposta

323

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