Obtenha a solução geral de cada EDO a seguir.
(x^2-x y+y^2) d x-x y d y+=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
l(x^2-x y+y^2r),dx - x y,dy = 0
Isso é uma equação homogênea de grau 2 em x e y, pois ambos os termos multiplicadores de dx e dy são homogêneos de grau 2. Vamos usar a substituição y=v x para transformar em variáveis separáveis.

Passo 2

Fazendo y=v x implica
dy = v,dx + x,dv
Substituindo em
(x^2-x y+y^2) + (-x y),dydx = 0
temos, dividindo tudo por x^2:
1 - v + v^2 - vl(v + xdvdxr)=0
Simplificando dá
1 - v - v,xdvdx=0

Passo 3

Isolamos xdvdx:
xdvdx=1-vv
Ou seja,
dvdx=1-vv,x

Passo 4

Separamos variáveis:
v1-v,dv=dxx
Integramos ambos os lados:
integralv1-v,dv=integraldxx
Como tfracv1-v=-1+tfrac11-v,
integrall(-1+11-vr),dv = -v - lnl|1-vr| = lnl|xr| + C

Passo 5

Reposicionando os termos e lembrando que v=y/x, obtemos
-v - lnl|1-vr| - lnl|xr| = C Longrightarrow yx + lnl|x-yr| = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

boxedyx + lnl|x - yr| = C

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