Determine os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades a seguir. Represente graficamente os intervalos.
(x^2-1)(x+4)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
l(x^2-1r),(x+4)<0
Isso envolve análise de sinais de um produto de fatores. Vamos precisar fatorar x^2-1, identificar as raízes e usar um gráfico de sinais para achar onde o produto é negativo.

Passo 2

Fatoramos o polinômio:
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Assim a desigualdade fica
(x-1),(x+1),(x+4)<0

Passo 3

Identificamos as raízes (pontos em que cada fator zera):
x-1=0implies x=1, x+1=0implies x=-1, x+4=0implies x=-4
Esses valores particionam a reta em quatro subintervalos:
(-infty,-4),;(-4,-1),;(-1,1),;(1,infty)

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo. Montando rapidamente:
  • Em x < -4 (por ex. x = -5):
    (x - 1) < 0,; (x + 1) < 0,; (x + 4) < 0; Longrightarrow produto < 0.
  • Em -4 < x < -1 (por ex. x = -2):
    (x - 1) < 0,; (x + 1) < 0,; (x + 4) > 0; Longrightarrow produto > 0.
  • Em -1 < x < 1 (por ex. x = 0):
    (x - 1) < 0,; (x + 1) > 0,; (x + 4) > 0; Longrightarrow produto < 0.
  • Em x > 1 (por ex. x = 2):
    (x - 1) > 0,; (x + 1) > 0,; (x + 4) > 0; Longrightarrow produto > 0.
Daí o produto é negativo em
(-infty, -4) cup (-1, 1)

Passo 5

Concluímos que a solução da desigualdade é
(-infty,-4);cup;(-1,1)

Passo 6

Representação gráfica no eixo real (círculos abertos em -4,-1,1; sombreados os trechos que satisfazem a desigualdade):
c long<=ftarrow!!!!!circunderbrace(-infty,-4) ;circ!!!!!longrightarrow long<=ftarrow!!!!!circunderbrace(-1,1) ;circ!!!!!longrightarrow -4 -1 1

Resposta

A solução da desigualdade é
(-infty,-4);cup;(-1,1)

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