Calcule a área da região entre o círculo de r=2 e da cardióide r=1+cos theta. Res. =5 pi2 uA.

Passo 1

O enunciado pede a área da região situada entre o círculo de raio 2 (equação polar r=2) e a cardioide de equação polar r=1+costheta.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A=12integralalpha^betar^2,dtheta,
aplicada à diferença entre curvas para cada theta.

Passo 2

Precisamos identificar, para cada theta, qual é a curva mais externa ( rext) e a mais interna ( rint).
Aqui o círculo tem rcírc=2í e a cardioide tem rcard=1+costheta.
Como max(1+costheta)=2 (quando theta=0) e min(1+costheta)=0, a cardioide fica sempre por dentro do círculo, encontrando-se com ele apenas em theta=0.

Passo 3

Como não há troca de qual curva é exterior em nenhum intervalo (a cardioide está dentro para todo theta), a região entre elas é continuamente dada por
0<= theta<= 2pi, rint=1+costheta, rext=2

Passo 4

A área procurada é
A = 12integral0^2pil(rext^2 - rint^2r),dtheta = 12integral0^2pil(2^2 - (1+costheta)^2r),dtheta

Passo 5

Expandindo o integrando:
2^2 - (1+costheta)^2 =4 - l(1 + 2costheta + cos^2thetar) =3 - 2costheta - cos^2theta
Usando cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta),
3 - 2costheta - 12(1+cos2theta) =52 -2costheta -12cos2theta

Passo 6

Substituindo na integral:
A = 12integral0^2pil(tfrac52 -2costheta -tfrac12cos2thetar)dtheta =12l[tfrac52cdot2pi -2cdot0 -tfrac12cdot0r] =12cdot 5pi1 =5pi2

Resposta

5pi2 unidades de área.

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