Calcule a área da região entre o círculo de
e da cardióide
. Res.
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região situada entre o círculo de raio
(equação polar
) e a cardioide de equação polar
.
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
aplicada à diferença entre curvas para cada
.
Passo 2
Precisamos identificar, para cada
, qual é a curva mais externa (
) e a mais interna (
).
Aqui o círculo tem e a cardioide tem
.
Como (quando
) e
, a cardioide fica sempre por dentro do círculo, encontrando-se com ele apenas em
.
Aqui o círculo tem
Como
Passo 3
Como não há troca de qual curva é exterior em nenhum intervalo (a cardioide está dentro para todo
), a região entre elas é continuamente dada por
Passo 4
A área procurada é
Passo 5
Expandindo o integrando:
Usando
,
Passo 6
Substituindo na integral: