Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{2}{3 n}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{2}{3 n}
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma até um número finito) ou diverge (se ela não chega a um valor específico). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observa que:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na série:
Essa é conhecida como a série harmônica. A gente sabe que a série harmônica é um exemplo clássico de uma série que diverge, ou seja, ela não soma para um número finito.
Passo 4
Como a série harmônica diverge e a nossa série original é apenas um múltiplo constante dela (
), o comportamento de convergência ou divergência será o mesmo. Multiplicar por uma constante diferente de zero não muda se a série converge ou diverge.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
também diverge.
Resposta
A série
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.