Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{2}{3 n}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty 23n
O objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma até um número finito) ou diverge (se ela não chega a um valor específico). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observa que:
23n = 23 cdot 1n
Então, nossa série fica:
sumn=1^infty 23 cdot 1n = 23 sumn=1^infty 1n

Passo 3

Agora, vamos focar na série:
sumn=1^infty 1n
Essa é conhecida como a série harmônica. A gente sabe que a série harmônica é um exemplo clássico de uma série que diverge, ou seja, ela não soma para um número finito.

Passo 4

Como a série harmônica diverge e a nossa série original é apenas um múltiplo constante dela ( 23), o comportamento de convergência ou divergência será o mesmo. Multiplicar por uma constante diferente de zero não muda se a série converge ou diverge.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
23 sumn=1^infty 1n
também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 23n diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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