Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \cos (n \pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty cos(n pi) converge ou não e, se possível, encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, especialmente sobre convergência. Vamos dar uma olhada no que a série está fazendo e usar alguns testes de convergência para descobrir o que acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é cos(n pi). Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(2pi) = 1, cos(3pi) = -1, e assim por diante. Então, cos(n pi) alterna entre 1 e -1 conforme n aumenta. Isso significa que a série sumn=1^infty cos(n pi) fica assim:
cos(pi) + cos(2pi) + cos(3pi) + dots = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + dots

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um teste básico de convergência: o teste da divergência. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série não for zero, a série não converge. Ou seja, se limn to infty an neq 0, então a série sum an diverge.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste à nossa série. O termo geral aqui é an = cos(n pi), que como vimos, alterna entre -1 e 1. Então, o limite de an quando n tende ao infinito não existe, pois a sequência não se aproxima de nenhum valor específico, ela continua pulando entre -1 e 1.
limn to infty cos(n pi) não existe ã

Passo 5

Como o limite do termo geral não é zero e, de fato, não existe, pelo teste da divergência, podemos concluir que a série sumn=1^infty cos(n pi) diverge. Ou seja, ela não converge para nenhum valor finito.

Resposta

A série sumn=1^infty cos(n pi) não converge.

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