Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \cos (n \pi)
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \cos (n \pi)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
converge ou não e, se possível, encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas, especialmente sobre convergência. Vamos dar uma olhada no que a série está fazendo e usar alguns testes de convergência para descobrir o que acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Sabemos que
e
,
, e assim por diante. Então,
alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta. Isso significa que a série
fica assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um teste básico de convergência: o teste da divergência. Esse teste diz que, se o limite do termo geral da série não for zero, a série não converge. Ou seja, se
, então a série
diverge.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. O termo geral aqui é
, que como vimos, alterna entre -1 e 1. Então, o limite de
quando
tende ao infinito não existe, pois a sequência não se aproxima de nenhum valor específico, ela continua pulando entre -1 e 1.
Passo 5
Como o limite do termo geral não é zero e, de fato, não existe, pelo teste da divergência, podemos concluir que a série
diverge. Ou seja, ela não converge para nenhum valor finito.
Resposta
A série
não converge.