Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série sumn=1^infty n!(n+2)! converge e, se der, encontrar o valor da soma. Vamos usar conhecimentos de séries numéricas e fatoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão n!(n+2)!. Lembra que (n+2)! = (n+2)(n+1)n! . Então, podemos cancelar o n! nos numerador e denominador:
n!(n+2)! = 1(n+2)(n+1)

Passo 3

Agora, a série fica:
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)
Essa forma sugere que podemos usar frações parciais para decompô-la. Vamos fazer isso:
1(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2
Resolvendo para A e B :
1 = A(n+2) + B(n+1)
Escolhendo valores estratégicos para n :
  • Se n = -1 : 1 = A(1) + B(0) A = 1
  • Se n = -2 : 1 = A(0) + B(-1) B = -1
Então:
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2

Passo 4

Substituindo de volta na série:
sumn=1^infty ( 1n+1 - 1n+2 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam ao somarmos.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos para visualizar o cancelamento:
( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + ( 14 - 15 ) + dots
Observa que -13 cancela com +13 , -14 com +14 , e assim por diante. No final, sobra apenas o primeiro termo não cancelado e o limite do último termo que tende a zero.

Passo 6

Então, a soma parcial Sk fica:
Sk = 12 - 1k+2
Agora, para encontrar o valor da série infinita, fazemos k tendendo ao infinito:
limk to infty Sk = 12 - 0 = 12

Resposta

A série é convergente e a soma dela é igual a 12.

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