Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente decidir se a série
converge e, se der, encontrar o valor da soma. Vamos usar conhecimentos de séries numéricas e fatoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Lembra que
. Então, podemos cancelar o
nos numerador e denominador:
Passo 3
Agora, a série fica:
Essa forma sugere que podemos usar frações parciais para decompô-la. Vamos fazer isso:
Resolvendo para
e
:
Escolhendo valores estratégicos para
:
- Se
: ⇒ - Se
: ⇒
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na série:
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam ao somarmos.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos para visualizar o cancelamento:
Observa que
cancela com
,
com
, e assim por diante. No final, sobra apenas o primeiro termo não cancelado e o limite do último termo que tende a zero.
Passo 6
Então, a soma parcial
fica:
Agora, para encontrar o valor da série infinita, fazemos
tendendo ao infinito:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é igual a
.