Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série
converge ou não. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de simplificação de termos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. A ideia aqui é simplificar esse termo para ver se conseguimos identificar um padrão ou uma série conhecida.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador. Observa que
. Mas mais importante ainda, vamos multiplicar e dividir o termo por
, que é uma técnica conhecida como racionalização. Assim:
Passo 4
Calculando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, a série original se transforma em:
Essa é uma série telescópica, onde vários termos se cancelam quando somamos.
Passo 6
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Note que
,
, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo.
Passo 7
Portanto, ao somar até um limite
, temos:
Passo 8
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. O termo
vai para zero, então a soma total da série é:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é igual a
.