Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} \cdot \sqrt{n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série sumn=1^infty 1raizn+1 cdot raizn(raizn+1+raizn) converge ou não. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o valor da soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e técnicas de simplificação de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: 1raizn+1 cdot raizn(raizn+1+raizn). A ideia aqui é simplificar esse termo para ver se conseguimos identificar um padrão ou uma série conhecida.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador. Observa que raizn+1 cdot raizn = raizn(n+1). Mas mais importante ainda, vamos multiplicar e dividir o termo por raizn+1 - raizn, que é uma técnica conhecida como racionalização. Assim:
1raizn raizn+1 (raizn+1 + raizn) times raizn+1 - raiznraizn+1 - raizn = raizn+1 - raiznraizn raizn+1 [(raizn+1)^2 - (raizn)^2]

Passo 4

Calculando o denominador:
(raizn+1)^2 - (raizn)^2 = (n+1) - n = 1
Então, a expressão fica:
raizn+1 - raiznraizn raizn+1 = 1raizn - 1raizn+1

Passo 5

Agora, a série original se transforma em:
sumn=1^infty ( 1raizn - 1raizn+1 )
Essa é uma série telescópica, onde vários termos se cancelam quando somamos.

Passo 6

Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
( 1raiz1 - 1raiz2 ) + ( 1raiz2 - 1raiz3 ) + ( 1raiz3 - 1raiz4 ) + dots
Note que 1raiz2, 1raiz3, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo.

Passo 7

Portanto, ao somar até um limite N, temos:
sumn=1^N ( 1raizn - 1raizn+1 ) = 1 - 1raizN+1

Passo 8

Agora, vamos analisar o que acontece quando N tende ao infinito. O termo 1raizN+1 vai para zero, então a soma total da série é:
1 - 0 = 1

Resposta

A série é convergente e a soma dela é igual a 1.

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