Calcule a área da região compreendida entre a curva
a reta
. (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região que está entre a curva
e a reta
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a área entre curvas. Para resolver, precisamos encontrar onde essas duas equações se interceptam e, então, configurar e calcular a integral que representa essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre a curva e a reta. Para isso, substituímos a expressão da reta na equação da curva.
Temos a reta
. Vamos substituir
por
na equação da curva:
Vamos expandir e simplificar:
Esse é um polinômio de segundo grau na variável
. Vamos chamar esse polinômio de
, onde:
Para encontrar as soluções de
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Portanto, as soluções para
são:
Vamos chamar as soluções de
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos configurar a integral para encontrar a área entre as curvas. A área
entre duas curvas
e
no intervalo de
a
é dada por:
No nosso caso, a reta
será
e a curva
será
(considerando apenas a parte positiva da parábola para simplificar).
Portanto, a área será:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral completa é:
Substituímos
e
nessa expressão para encontrar o valor da área.
Resposta
A área da região compreendida entre a curva
e a reta
é dada por:
Substituindo os valores de
e
encontrados, você obterá o valor numérico da área desejada.