Calcule a área da região compreendida entre a curva y^2-4 x=4 e a reta 4 x-y=16. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região que está entre a curva y^2 - 4x = 4e e a reta 4x - y = 16 . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a área entre curvas. Para resolver, precisamos encontrar onde essas duas equações se interceptam e, então, configurar e calcular a integral que representa essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre a curva e a reta. Para isso, substituímos a expressão da reta na equação da curva.
Temos a reta y = 4x - 16 . Vamos substituir y por 4x - 16 na equação da curva:
(4x - 16)^2 - 4x = 4e
Vamos expandir e simplificar:
16x^2 - 128x + 256 - 4x = 4e
16x^2 - 132x + 256 = 4e
16x^2 - 132x + (256 - 4e) = 0
Esse é um polinômio de segundo grau na variável x . Vamos chamar esse polinômio de ax^2 + bx + c = 0 , onde:
a = 16, b = -132, c = 256 - 4e
Para encontrar as soluções de x , usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = (-132)^2 - 4 times 16 times (256 - 4e)
De<a = 17424 - 64 times (256 - 4e)
De<a = 17424 - 16384 + 256e
De<a = 1040 + 256e
Portanto, as soluções para x são:
x = 132 pm raiz1040 + 256e32
Vamos chamar as soluções de x1 e x2 .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos configurar a integral para encontrar a área entre as curvas. A área A entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo de x = a a x = b é dada por:
A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx
No nosso caso, a reta y = 4x - 16 será f(x) e a curva y = raiz4(x + e) será g(x) (considerando apenas a parte positiva da parábola para simplificar).
Portanto, a área será:
A = integralx1^x2 ( (4x - 16) - raiz4(x + e) ) dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
A = integralx1^x2 ( 4x - 16 - 2raizx + e ) dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (4x) , dx = 2x^2
integral (-16) , dx = -16x
integral (-2raizx + e) , dx = -2 times 23 (x + e)^3/2 = -43 (x + e)^3/2
Portanto, a integral completa é:
A = [ 2x^2 - 16x - 43 (x + e)^3/2 ]x1^x2
Substituímos x1 e x2 nessa expressão para encontrar o valor da área.

Resposta

A área da região compreendida entre a curva y^2 - 4x = 4e e a reta 4x - y = 16 é dada por:
A = [ 2x^2 - 16x - 43 (x + e)^3/2 ]x1^x2
Substituindo os valores de x1 e x2 encontrados, você obterá o valor numérico da área desejada.

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