Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2, x=0,0 <= x <= 2, y=4 ao redor do eixo y. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido de rotação. O problema pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas y = x^2 , x = 0 , 0 <= x <= 2 e y = 4 em torno do eixo y . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de integração para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região. Temos a parábola y = x^2 , a reta vertical x = 0 (que é o eixo y ), o intervalo 0 <= x <= 2 e a reta horizontal y = 4 . Quando giramos essa região em torno do eixo y , formamos um sólido.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos expressar x em função de y . Como y = x^2 , temos que x = raizy . Isso é útil porque vamos integrar em relação a y .

Passo 4

O método dos discos consiste em dividir o sólido em fatias finas na direção do eixo de rotação (neste caso, vertical, no eixo y ). Cada fatia é um disco com raio R(y) e espessura dy . A área desse disco é pi [R(y)]^2 .

Passo 5

Aqui, o raio R(y) de cada disco é a distância do eixo y até a curva x = raizy . Portanto, R(y) = raizy .

Passo 6

Agora, vamos definir os limites de integração. Como o intervalo de x vai de 0 a 2 e y = x^2 , y varia de 0 a 2^2 = 4 .

Passo 7

Assim, o volume V é dado pela integral de pi [R(y)]^2 de y = 0 a y = 4 :
V = pi integral0^4 (raizy)^2 dy

Passo 8

Simplificando a expressão dentro da integral:
(raizy)^2 = y
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 y , dy

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral:
integral y , dy = y^22
Então,
V = pi [ y^22 ]0^4 = pi ( 4^22 - 0^22 ) = pi ( 162 - 0 ) = pi times 8 = 8pi

Resposta

O volume do sólido é 8pi unidades cúbicas.

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