Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
ao redor do eixo
. (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido de rotação. O problema pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de integração para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região. Temos a parábola
, a reta vertical
(que é o eixo
), o intervalo
e a reta horizontal
. Quando giramos essa região em torno do eixo
, formamos um sólido.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos expressar
em função de
. Como
, temos que
. Isso é útil porque vamos integrar em relação a
.
Passo 4
O método dos discos consiste em dividir o sólido em fatias finas na direção do eixo de rotação (neste caso, vertical, no eixo
). Cada fatia é um disco com raio
e espessura
. A área desse disco é
.
Passo 5
Aqui, o raio
de cada disco é a distância do eixo
até a curva
. Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração. Como o intervalo de
vai de 0 a 2 e
,
varia de 0 a
.
Passo 7
Assim, o volume
é dado pela integral de
de
a
:
Passo 8
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral:
Então,
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.