Utilize as fórmulas trigonométricas abaixo para calcular as primitivas das funções dadas a seguir:
l sen(a) sen(b)=12(cos (a-b)-cos (a+b)) sen(a) cos (b)=12(sen(a-b)-sen(a+b)) cos (a) cos (b)=12(cos (a-b)+cos (a+b))
integral sen(4 x) cos (2 x) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a primitiva integral sin(4x)cos(2x),dx usando fórmulas de soma-produto de funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicar a identidade sin(a)cos(b)=tfrac12l(sin(a-b)-sin(a+b)r) ao produto sin(4x)cos(2x):
sin(4x)cos(2x)=tfrac12l(sin(4x-2x)-sin(4x+2x)r)=tfrac12l(sin(2x)-sin(6x)r)
Reescrever a integral usando esse resultado:
integral sin(4x)cos(2x),dx=tfrac12integrall(sin(2x)-sin(6x)r)dx
Calcular as primitivas separadamente:
  • integralsin(2x),dx=-tfrac12cos(2x)+C1
  • integralsin(6x),dx=-tfrac16cos(6x)+C2
    Combinar os resultados e ajustar a constante geral:
$$\tfrac12\Bigl(-\tfrac12\cos(2x)+\tfrac16\cos(6x)\Bigr)+C
=-\tfrac14\cos(2x)+\tfrac1{12}\cos(6x)+C.$$

Resposta

-tfrac14cos(2x)+tfrac112cos(6x)+C

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