Calcule as integrais: ( 2,0 pontos)
integral cos (5 x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos(5x + 2) , dx. A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra básica de integração para funções do tipo cos(ax + b).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de cos(u) em relação a u é sin(u) + C, onde C é a constante de integração. Mas aqui, dentro do cosseno, temos uma função linear 5x + 2, então precisamos usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição simples. Seja u = 5x + 2. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Derivando, temos:
du = 5 , dx Rightarrow dx = du5

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, ficamos com:
integral cos(5x + 2) , dx = integral cos(u) cdot du5 = 15 integral cos(u) , du

Passo 5

Agora, podemos integrar cos(u) facilmente:
15 integral cos(u) , du = 15 sin(u) + C
Lembrando que u = 5x + 2, substituímos de volta:

Passo 6

Substituindo u novamente, temos:
15 sin(5x + 2) + C

Resposta

A integral de cos(5x + 2) em relação a x é:
15 sin(5x + 2) + C

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