Calcule os limites, caso existam:
a) lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2
b) lim (x, y) (0,0) x^3-x yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos dois limites para calcular quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso pertence ao estudo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto de diferentes direções.

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2
Primeiro, precisamos verificar se o limite existe quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos. Se o valor do limite for o mesmo independentemente do caminho, então o limite existe e é esse valor. Se depender do caminho, o limite não existe.

Passo 3

Vamos tentar nos aproximar de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0:
x^2 cdot 0x^4 + 0^2 = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos nos aproximar ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0:
0^2 cdot y0^4 + y^2 = 0
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, y = x^2:
x^2 cdot x^2x^4 + (x^2)^2 = x^4x^4 + x^4 = x^42x^4 = 12
Aqui, o limite é 12, que é diferente de 0.

Passo 6

Como obtivemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido ( 0 e 12), isso significa que o limite não existe.

Passo 7

Agora, vamos para a parte b):
lim (x, y) (0,0) x^3-x yx^2+y^2
Novamente, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 8

Primeiro, vamos nos aproximar pelo eixo x, onde y = 0:
x^3 - x cdot 0x^2 + 0^2 = x^3x^2 = x
À medida que x 0, isso tende a 0.

Passo 9

Agora, vamos nos aproximar pelo eixo y, onde x = 0:
0^3 - 0 cdot y0^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 10

Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, y = kx, onde k é uma constante:
x^3 - x cdot kxx^2 + (kx)^2 = x^3 - kx^2x^2 + k^2x^2 = x^2(x - k)x^2(1 + k^2) = x - k1 + k^2
À medida que x 0, isso tende a -k1 + k^2.

Passo 11

Aqui, o valor do limite depende do valor de k. Por exemplo:
  • Se k = 0, o limite é 0.
  • Se k = 1, o limite é -12.
Como obtemos diferentes valores dependendo de k, isso significa que o limite não é o mesmo por todos os caminhos.

Resposta

b) O limite não existe.

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