Calcule os limites, caso existam:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos dois limites para calcular quando
se aproxima de
. Isso pertence ao estudo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto de diferentes direções.
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
Primeiro, precisamos verificar se o limite existe quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Se o valor do limite for o mesmo independentemente do caminho, então o limite existe e é esse valor. Se depender do caminho, o limite não existe.
Passo 3
Vamos tentar nos aproximar de
ao longo do eixo
, ou seja, quando
:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos nos aproximar ao longo do eixo
, ou seja, quando
:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
:
Aqui, o limite é
, que é diferente de 0.
Passo 6
Como obtivemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido (
e
), isso significa que o limite não existe.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b):
Novamente, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 8
Primeiro, vamos nos aproximar pelo eixo
, onde
:
À medida que
, isso tende a 0.
Passo 9
Agora, vamos nos aproximar pelo eixo
, onde
:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 10
Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é uma constante:
À medida que
, isso tende a
.
Passo 11
Aqui, o valor do limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é 0. - Se
, o limite é .
Como obtemos diferentes valores dependendo de
, isso significa que o limite não é o mesmo por todos os caminhos.
Resposta
b) O limite não existe.