Calcule a área da regiāo compreendida entre:
a curva y=x^3, a reta y=8 e o eixo O Y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva y = x^3, pela reta y = 8 e pelo eixo OY. O conteúdo aqui é cálculo de área por integração definida, e precisaremos determinar os limites da região e usar a diferença entre as funções nesses limites.

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto em que a curva cruza a reta, resolvendo
x^3 = 8
Isso dá
x = 2
A região está limitada verticalmente pelo eixo OY (isto é, x=0) e pela curva de interseção em x=2.

Passo 3

Como o limite superior em y é a reta y = 8 e o limite inferior é a curva y = x^3, a área A pode ser calculada por
A = integral0^2l(8 - x^3r),dx

Passo 4

Calculamos a antiderivada de 8 - x^3:
integrall(8 - x^3r),dx = 8x - x^44 + C

Passo 5

Avaliamo-la de 0 a 2:
A = [,8x - x^44]0^2 = l(8cdot2 - tfrac2^44r) - 0 = (16 - 4) = 12

Resposta

A área da região é 12 unidades quadradas.

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