Determine a solução geral das equações diferenciais homogêneas:
x+yx+y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema é: determinar a solução geral da equação diferencial homogênea x + yx + y' = 0. Vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. A equação dada é:
x + yx + y' = 0
Vamos dividir cada termo por x:
1 + yx + y' = 0
Isso simplifica para:
y' = -(1 + yx)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Como a equação é homogênea, podemos usar v = yx, onde v é uma função de x. Assim, y = v cdot x.

Passo 4

Vamos derivar y em relação a x:
y' = v + x cdot dvdx

Passo 5

Substituímos y e y' na equação original:
v + x cdot dvdx = -(1 + v)
Isso fica:
x cdot dvdx = -1 - v - v = -1 - 2v

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis v e x:
dv1 + 2v = -dxx

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral dv1 + 2v = -integral dxx
A integral do lado esquerdo é:
12 ln|1 + 2v|
E a do lado direito é:
-ln|x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
ln|1 + 2v| = -2ln|x| + C'
onde C' = 2C.

Passo 9

Podemos reescrever a equação exponencialmente:
1 + 2v = Cx^-2
onde C = e^C' é uma nova constante.

Passo 10

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
1 + 2(yx) = Cx^2
Simplificando:
2y + x = Cx

Passo 11

Isolando y:
2y = Cx - x
y = C2x - x2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C2x - x2
onde C é uma constante arbitrária.

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