Determine a solução geral das equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema é: determinar a solução geral da equação diferencial homogênea
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e substituição para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. A equação dada é:
Vamos dividir cada termo por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Como a equação é homogênea, podemos usar
, onde
é uma função de
. Assim,
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Isso fica:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
onde
.
Passo 9
Podemos reescrever a equação exponencialmente:
onde
é uma nova constante.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 11
Isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.