Sobre o estudo da classificação de uma equação diferencial, complete a tabela abaixo.
Item Equação Diferencial O ou P L ou NL Ordem Grau* Var. I Var. D
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
(m)
(n)
(o)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos várias equações diferenciais segundo:
  • se são ordinárias (O) ou parciais §,
  • se são lineares (L) ou não lineares (NL),
  • sua ordem (a maior derivada que aparece),
  • seu grau (o expoente da maior derivada quando a equação é polinomial nela; se não for possível, anotamos “ND” = não definido),
  • sua(s) variável(eis) independente(s) e dependente(s).

Passo 2

Para cada equação vamos usar estas definições:
1. É ODE (ordinária) se há derivadas em relação a uma única variável independente; é PDE (parcial) se aparece mais de uma variável independente.
2. É linear se a(s) derivada(s) e a função dependente aparecem de forma linear (coeficientes podem depender da variável independente, mas não da função ou de suas derivadas); caso contrário é não linear.
3. A ordem é o maior índice de derivada que surge.
4. O grau é o maior expoente do(s) termo(s) que contenham essa maior derivada, depois que a equação estiver escrita como polinômio em derivadas (se não for possível tornar polinomial, grau = ND).
5. Variável independente é aquela em relação à qual derivamos; dependente é a função que estamos determinando.

Passo 3

Classificação de (a), (b) e (c):
(a) (1 - x),y'' - 4x,y' + 5y = cos x
  • O/P: O
  • L/NL: L
  • Ordem: 2
  • Grau: 1
  • Var. I: x
  • Var. D: y
(b) l(y^2-1r),dx + x,dy = 0
(ou seja dy/dx=-(y^2-1)/x)
  • O/P: O
  • L/NL: NL
  • Ordem: 1
  • Grau: 1
  • Var. I: x
  • Var. D: y
(c) t^5,y^(4) - t^3,y'' + 6y = 0
  • O/P: O
  • L/NL: L
  • Ordem: 4
  • Grau: 1
  • Var. I: t
  • Var. D: y

Passo 4

Classificação de (d), (e) e (f):
(d) d^2ydx^2=raiz1+l(dydxr)^2
(é necessário elevar ao quadrado para polinomializar)
  • O/P: O
  • L/NL: NL
  • Ordem: 2
  • Grau: 2
  • Var. I: x
  • Var. D: y
(e) (sentheta),y''' - (costheta),y' = 2
  • O/P: O
  • L/NL: L
  • Ordem: 3
  • Grau: 1
  • Var. I: theta
  • Var. D: y
(f) y' = x^2 + 5y
(ou y' - 5y = x^2)
  • O/P: O
  • L/NL: L
  • Ordem: 1
  • Grau: 1
  • Var. I: x
  • Var. D: y

Passo 5

Classificação de (g), (h) e (i):
(g) y'' - 4y' - 5y = e^3x
  • O/P: O
  • L/NL: L
  • Ordem: 2
  • Grau: 1
  • Var. I: x
  • Var. D: y
(h) partial Upartial t=4,partial^2Upartial x^2+partial Upartial y
  • O/P: P
  • L/NL: L
  • Ordem: 2
  • Grau: 1
  • Var. I: x,y,t
  • Var. D: U
(i) l(tfracd^3sdt^3r)^2+l(tfracd^2sdt^2r)^3=s-3t
  • O/P: O
  • L/NL: NL
  • Ordem: 3
  • Grau: 2
  • Var. I: t
  • Var. D: s

Passo 6

Classificação de (j), (k) e (l):
(j) drdphi=raizr,phi
(eleva-se ao quadrado para polinomializar)
  • O/P: O
  • L/NL: NL
  • Ordem: 1
  • Grau: 2
  • Var. I: phi
  • Var. D: r
(k) d^2xdy^2-3x=sen y
  • O/P: O
  • L/NL: L
  • Ordem: 2
  • Grau: 1
  • Var. I: y
  • Var. D: x
(l) partial^2Vpartial x^2=raiz[3]partial Vpartial y
(eleva-se ao cubo para polinomializar)
  • O/P: P
  • L/NL: NL
  • Ordem: 2
  • Grau: 3
  • Var. I: x,y
  • Var. D: V

Passo 7

Classificação de (m), (n) e (o):
(m) (2x+y),dx+(x-3y),dy=0
(ou dy/dx=-(2x+y)/(x-3y))
  • O/P: O
  • L/NL: NL
  • Ordem: 1
  • Grau: 1
  • Var. I: x
  • Var. D: y
(n) y''+x,y=sen(y'')
(a derivada de 2º aparece dentro de seno, não polinomial)
  • O/P: O
  • L/NL: NL
  • Ordem: 2
  • Grau: ND
  • Var. I: x
  • Var. D: y
(o) partial^2Tpartial x^2+partial^2Tpartial y^2+partial^2Tpartial z^2=0
  • O/P: P
  • L/NL: L
  • Ordem: 2
  • Grau: 1
  • Var. I: x,y,z
  • Var. D: T

Resposta

Item O ou P L ou NL Ordem Grau Var. I Var. D
(a) O L 2 1 x y
(b) O NL 1 1 x y
(c) O L 4 1 t y
(d) O NL 2 2 x y
(e) O L 3 1 theta y
(f) O L 1 1 x y
(g) O L 2 1 x y
(h) P L 2 1 x,y,t U
(i) O NL 3 2 t s
(j) O NL 1 2 phi r
(k) O L 2 1 y x
(l) P NL 2 3 x,y V
(m) O NL 1 1 x y
(n) O NL 2 ND x y
(o) P L 2 1 x,y,z T

Exercícios relacionados