Justifique todas as suas respostas.
  • Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
    Mostre que se as componentes de F têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e S é a superfície limite de uma região sólida simples, mostre que
integral duplaS rot F cdot d S=0

Passo 1

Aqui a ideia é usar o Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial nabla times vec F em uma região 3D fechada.

Passo 2

Esboço da região de integração: desenhe uma região sólida V qualquer (por exemplo, uma bola ou um blob), com sua superfície limite fechada S=partial V.
______
/ \
/ V \
\ /
______/
Aqui V é o interior e S é o contorno fechado.

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Divergência ao campo nablatimesvec F. Ele nos garante que
integral duplaS(nablatimesvec F)cdot d S = integral triplaVnablacdot(nablatimesvec F),dV

Passo 4

Como as componentes de vec F têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale a identidade vetorial
nablacdot(nablatimesvec F)=0
Logo o integral de volume é zero, e portanto o integral de superfície também é zero.

Resposta

0

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