Justifique todas as suas respostas.
- Em cada item é obrigatório o esboço da região de integração.
Mostre que se as componentes de
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e
é a superfície limite de uma região sólida simples, mostre que
Mostre que se as componentes de
Passo 1
Aqui a ideia é usar o Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial
em uma região 3D fechada.
Passo 2
Esboço da região de integração: desenhe uma região sólida
qualquer (por exemplo, uma bola ou um blob), com sua superfície limite fechada
.
______
/ \
/ V \
\ /
______/
Aqui é o interior e
é o contorno fechado.
______
/ \
/ V \
\ /
______/
Aqui
Passo 3
Aplicamos o Teorema da Divergência ao campo
. Ele nos garante que
Passo 4
Como as componentes de
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale a identidade vetorial
Logo o integral de volume é zero, e portanto o integral de superfície também é zero.
Resposta
0