Calcule a área da região compreendida entre:
a curva y=x^3, a reta y=1 e a reta vertical x=8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região delimitada pela curva y = x^3 , pela reta y = 1 e pela reta vertical x = 8 . Vamos usar cálculo integral, especificamente a integral definida, para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde a curva y = x^3 e a reta y = 1 se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
x^3 = 1
Resolvendo para x :
x = 1
Então, as curvas se intersectam no ponto x = 1 .

Passo 3

Agora, sabemos que a área que queremos calcular está entre x = 1 e x = 8 , abaixo da curva y = x^3 e acima da reta y = 1 . Para achar essa área, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores nesse intervalo.

Passo 4

A função superior é y = x^3 e a função inferior é y = 1 . Então, a área A é dada por:
A = integral1^8 (x^3 - 1) , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (x^3 - 1) , dx = 14x^4 - x + C
Agora, avaliamos de x = 1 a x = 8 :
A = [ 14(8)^4 - 8 ] - [ 14(1)^4 - 1 ]
A = [ 14(4096) - 8 ] - [ 14 - 1 ]
A = (1024 - 8) - (0,25 - 1)
A = 1016 - (-0,75) = 1016 + 0,75 = 1016,75

Resposta

A área da região é 1016,75 unidades de área.

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