Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
3+(-1)^nn^2

Passo 1

Este exercício pede para analisar a sequência an = 3 + (-1)^nn^2, do tema de limite de sequência, e decidir se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar definição de limite de sequência, comportamento de termos oscilantes e o teorema do confronto.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de forma clara:
an = 3 + (-1)^nn^2

Passo 3

Observamos que (-1)^n oscila entre -1 e +1. Assim, o numerador 3 + (-1)^n fica sempre entre
3 - 1 = 2 e 3 + 1 = 4

Passo 4

Como n^2 é positivo para todo n, podemos dividir essa desigualdade por n^2 sem inverter os sinais:
2n^2 <= 3 + (-1)^nn^2 <= 4n^2

Passo 5

Sabemos que limntoinfty2n^2 = 0 e limntoinfty4n^2 = 0. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), como an está “espremido” entre duas sequências que convergem para o mesmo valor, segue que an também converge para esse valor.

Passo 6

Portanto, a sequência converge e o seu limite é 0.

Resposta

0

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