Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Este exercício pede para analisar a sequência
, do tema de limite de sequência, e decidir se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar definição de limite de sequência, comportamento de termos oscilantes e o teorema do confronto.
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral de forma clara:
Passo 3
Observamos que
oscila entre
e
. Assim, o numerador
fica sempre entre
Passo 4
Como
é positivo para todo
, podemos dividir essa desigualdade por
sem inverter os sinais:
Passo 5
Sabemos que
e
. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), como
está “espremido” entre duas sequências que convergem para o mesmo valor, segue que
também converge para esse valor.
Passo 6
Portanto, a sequência converge e o seu limite é 0.
Resposta
0