Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo envolvido é o estudo de limites de sequência e trigonometria.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
. Assim podemos reescrever a sequência de modo mais simples:
Substituindo, obtemos
Substituindo, obtemos
Para analisar o comportamento, observamos as duas situações:
– Se é par, escrevemos
e então
– Se
– Se
é ímpar, escrevemos
e então
Passo 3
Como a sequência alterna indefinidamente entre os valores 3 e 1, ela não se aproxima de um único valor.
Portanto, a sequência não converge.
Portanto, a sequência não converge.
Resposta
A sequência diverge; não possui limite.