Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=2+cos n pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência an = 2 + cos(npi) converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo envolvido é o estudo de limites de sequência e trigonometria.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica cos(npi) = (-1)^n. Assim podemos reescrever a sequência de modo mais simples:
Substituindo, obtemos
an = 2 + (-1)^n
Para analisar o comportamento, observamos as duas situações:
– Se n é par, escrevemos n = 2k e então
a2k = 2 + (-1)^2k = 2 + 1 = 3
– Se n é ímpar, escrevemos n = 2k+1 e então
a2k+1 = 2 + (-1)^2k+1 = 2 - 1 = 1

Passo 3

Como a sequência alterna indefinidamente entre os valores 3 e 1, ela não se aproxima de um único valor.
Portanto, a sequência não converge.

Resposta

A sequência diverge; não possui limite.

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