Calcule as integrais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
, que é a função arco-tangente de
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Isso é importante porque aparece no denominador da nossa integral.
Passo 3
Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
igual a
:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Observamos que
é exatamente o que está multiplicando
na integral original. Assim, podemos substituir
e
na integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou muito mais simples:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, vamos substituir
de volta para
:
Resposta
A integral é igual a
.