Calcule as integrais a seguir:
integral e^tan ^-1(x)x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral e^tan^-1(x)x^2+1 , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão tan^-1(x), que é a função arco-tangente de x. Sabemos que a derivada de tan^-1(x) em relação a x é 1x^2 + 1. Isso é importante porque aparece no denominador da nossa integral.

Passo 3

Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável t igual a tan^-1(x):
t = tan^-1(x)
Agora, vamos encontrar a derivada de t em relação a x:
dtdx = 1x^2 + 1
Isso significa que:
dt = 1x^2 + 1 , dx

Passo 4

Observamos que 1x^2 + 1 , dx é exatamente o que está multiplicando e^tan^-1(x) na integral original. Assim, podemos substituir t e dt na integral:
integral e^tan^-1(x)x^2+1 , dx = integral e^t , dt

Passo 5

Agora, a integral ficou muito mais simples:
integral e^t , dt
A integral de e^t em relação a t é simplesmente e^t + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir t de volta para tan^-1(x):
e^t + C = e^tan^-1(x) + C

Resposta

A integral é igual a e^tan^-1(x) + C.

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