Calcule a área da região compreendida entre as curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=x^2 e g(x)=−x^2+4x. O tópico aqui é cálculo de área entre curvas, que usamos integras definidas para a diferença entre a curva superior e a inferior.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos f(x) a g(x):
Isso dá
Logo, as interseções são x = 0 e x = 2.
Passo 3
Precisamos ver qual curva está por cima em [0,2]. Calculamos g(x) − f(x):
Numérico, para x em [0,2], esse polinômio é não negativo, então g(x) está acima de f(x].
Passo 4
O passo seguinte é montar a integral da diferença entre as curvas no intervalo [0,2]:
Passo 5
Agora calculamos a primitiva de -2x^2 + 4x:
e avaliamos entre 0 e 2.
Passo 6
Avaliaremos a expressão entre os limites:
Portanto a área é 8/3.
Resposta
A área da região é
unidades de área.