Calcule a área da região compreendida entre as curvas:
f(x)=x^2 e g(x)=-x^2+4 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=x^2 e g(x)=−x^2+4x. O tópico aqui é cálculo de área entre curvas, que usamos integras definidas para a diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos f(x) a g(x):
x^2 = -x^2 + 4x
Isso dá
2x^2 - 4x = 0 implies 2x(x - 2) = 0
Logo, as interseções são x = 0 e x = 2.

Passo 3

Precisamos ver qual curva está por cima em [0,2]. Calculamos g(x) − f(x):
(-x^2 + 4x) - x^2 = -2x^2 + 4x
Numérico, para x em [0,2], esse polinômio é não negativo, então g(x) está acima de f(x].

Passo 4

O passo seguinte é montar a integral da diferença entre as curvas no intervalo [0,2]:
A = ,integral0^2 l(g(x) - f(x)r),dx = integral0^2 (-2x^2 + 4x),dx .

Passo 5

Agora calculamos a primitiva de -2x^2 + 4x:
integral (-2x^2 + 4x),dx = -tfrac23x^3 + 2x^2 + C
e avaliamos entre 0 e 2.

Passo 6

Avaliaremos a expressão entre os limites:
l(-tfrac23cdot2^3 + 2cdot2^2r) - l(-tfrac23cdot0^3 + 2cdot0^2r) = l(-tfrac163 + 8r) - 0 = tfrac83
Portanto a área é 8/3.

Resposta

A área da região é tfrac83 unidades de área.

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