Calcule a área da região compreendida entre as curvas:
f(x)=x^2 e g(x)=2 x+8

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a área da região delimitada pelas curvas f(x)=x^2 e g(x)=2x+8. O conteúdo é área entre curvas, então vamos achar os pontos de interseção, identificar qual função está acima e integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
x^2 = 2x + 8
Isso vira a equação quadrática x^2 - 2x - 8 = 0. Resolvendo (por fórmula de Bhaskara ou fatoração), obtemos x=-2 e x=4.

Passo 3

Precisamos saber qual função está por cima entre x=-2 e x=4. Testando um ponto, por exemplo x=0, temos f(0)=0 e g(0)=8. Então g(x) é sempre maior que f(x) nesse intervalo.

Passo 4

Montamos a integral da diferença entre a função superior g(x) e a inferior f(x):
Área = integral-2^4 l(g(x)-f(x)r),dx = integral-2^4 l(2x+8 - x^2r),dxÁ
A primitiva de -x^2 + 2x + 8 é -tfracx^33 + x^2 + 8x.

Passo 5

Agora é só avaliar essa primitiva de -2 a 4:
l(-tfracx^33 + x^2 + 8xr)|-2^4 = l(tfrac803r) - l(-tfrac283r) = tfrac1083 = 36
Pronto, essa é a área procurada.

Resposta

36

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