Encontre a integral indefinida das funções a seguir
$f(x)=x^{2 / 3}+2 x^{-1 / 3}$

Passo 1

A função dada é f(x) = x^{2/3} + 2 x^{−1/3}. O conteúdo aqui é integração indefinida usando a regra da potência, e vamos precisar lembrar que para n ≠ −1 vale ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes: ∫ f(x) dx = ∫ x^{2/3} dx + 2 ∫ x^{−1/3} dx

Passo 3

Para a primeira parte, aplicamos a regra da potência com n = 2/3. Temos
integral x^2/3 ,dx = x^(2/3)+1(2/3)+1 = x^5/35/3 = 35 x^5/3

Passo 4

Para a segunda parte, primeiro fatoramos o 2 e integramos x^{−1/3} com n = −1/3. Então
2 integral x^−1/3 ,dx = 2 cdot x^(−1/3)+1(−1/3)+1 = 2 cdot x^2/32/3 = 2 cdot 32 x^2/3 = 3 x^2/3

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva F(x).

Resposta

35x^5/3 + 3x^2/3 + C

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