Encontre as derivadas das funûÏûçes
y=e^-2 x sin 3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de y = e^{-2x}
sin 3x. O conteúdo principal envolve a regra do produto e a regra da cadeia para derivar exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, identificamos f(x) = e^{-2x} e g(x) = \sin 3x. A regra diz que y’ = f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x).

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente, usando a regra da cadeia quando necessário. Para f(x) = e^{-2x}, temos f’(x) = e^{-2x} \cdot (–2), pois a derivada de –2x é –2. Para g(x) = \sin 3x, temos g’(x) = \cos 3x \cdot 3, pois a derivada de \sin u é \cos u vezes u’.

Passo 4

Substituindo na regra do produto, obtemos
y' = (-2 e^-2x) cdot sin 3x + e^-2x cdot (3 cos 3x)

Passo 5

Agora podemos fatorar e^{-2x} em evidência para simplificar o resultado:
y' = e^-2xl(-2sin 3x + 3cos 3xr)

Resposta

y' = e^-2xl(-2sin 3x + 3cos 3xr)

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