Calcule a área da região compreendida entre as curvas:
f(x)=sen x e g(x)=x^2-pi x

Passo 1

Vamos calcular a área da região limitada pelas curvas f(x)=sin x e g(x)=x^2-pi x. O conteúdo principal aqui é integração definida, e vamos precisar achar os pontos de interseção e usar antiderivadas de sin x, x^2 e x.

Passo 2

Para achar as interseções, resolvemos sin x = x^2 - pi x. Observamos que para x=0 temos sin0=0 e 0^2-picdot0=0, e para x=pi temos sinpi=0 e pi^2-pipi=0. Analisando os sinais, não há mais soluções reais além de x=0 e x=pi.

Passo 3

No intervalo [0,pi], sin x>=0 e g(x)=x(x-pi)<=0, logo sin x>= x^2-pi x. A área é dada por
integral0^pil[sin x - (x^2-pi x)r],dx

Passo 4

Quebramos a integral em três partes: integral0^pisin x,dx, integral0^pix^2,dx e integral0^pipi x,dx. Usamos as antiderivadas -cos x, x^3/3 e pi x^2/2, respectivamente.

Passo 5

Aplicando os limites em cada termo:
integral0^pisin x,dx = 2,integral0^pix^2,dx = pi^33,integral0^pipi x,dx = pi^32

Passo 6

Combinando, a área fica
2 - pi^33 + pi^32 = 2 + pi^36

Resposta

A área é 2 + tfracpi^36.

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