Encontre o ponto no gráfico de y=\sqrt{x} que está mais próximo do ponto (4,0).
Escolha uma opção:
\left(\frac{3}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}}\right)
\left(\frac{1}{2}, \sqrt{\frac{1}{2}}\right)
\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)
Nenhuma das demais alternativas
(9,3)
(4,2)

Passo 1

O enunciado pede o ponto da curva y=\sqrt{x} que fica mais próximo de (4,0). Esse é um problema de otimização em uma variável, onde vamos minimizar a distância entre (x,\sqrt{x}) e (4,0).

Passo 2

Definimos a função distância ao quadrado para evitar raiz:
D(x) = (x - 4)^2 + \bigl(\sqrt{x} - 0\bigr)^2 = (x-4)^2 + x.
Minimizar D(x) é equivalente a minimizar a distância.

Passo 3

Calculamos a derivada de D(x) em relação a x:
D'(x) = 2(x-4) + 1 = 2x - 7.
Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:
2x - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{7}{2}.

Passo 4

Verificamos que é mínimo pois
D''(x) = 2 > 0.
Logo x=\tfrac72 realmente corresponde a um ponto de mínimo.

Passo 5

O ponto da curva é
\Bigl(\tfrac72,\;\sqrt{\tfrac72}\Bigr).
Nenhuma das alternativas dadas coincide com \bigl(\tfrac72,\sqrt{\tfrac72}\bigr).

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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