Considere a função y=(2 x)^{\cos x}. Assinale a alternativa correta:
Escolha uma opção:
A concavidade do gráfico da função é sempre para cima.
A função é crescente em todo o seu domínio.
A função possui um ponto de inflexão em x=1.
Nenhuma das demais alternativas
A equação da reta tangente em x=\frac{\pi}{2} é y=1-\ln (\pi)\left(x-\frac{\pi}{2}\right).
A função possui pelo menos um número crítico no intervalo (0,1).

Passo 1

O enunciado apresenta a função
y = (2x)^{\cos x},
define o domínio x>0 e pede para assinalar a alternativa correta dentre várias (concavidade, monotonicidade, ponto de inflexão, reta tangente em x=\tfrac\pi2, existência de crítico em (0,1), etc.).
Para resolver vamos usar derivação logarítmica para obter y' e depois avaliar em x=\tfrac\pi2.

Passo 2

Aplicamos logaritmo em ambos os lados:
\ln y = \cos x\;\ln(2x).
Diferenciando em relação a x (derivada implícita):
\frac{1}{y}y' = -\sin x\;\ln(2x) \;+\;\cos x\;\frac{d}{dx}[\ln(2x)].
Como \tfrac{d}{dx}\ln(2x)=\tfrac1{x}, temos
\frac{y'}{y} = -\ln(2x)\,\sin x \;+\;\frac{\cos x}{x}.
Logo
y' = y\Bigl(\frac{\cos x}{x} - \ln(2x)\,\sin x\Bigr).

Passo 3

Em x=\tfrac\pi2 calculamos primeiro y:
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = \bigl(2\cdot\tfrac\pi2\bigr)^{\cos(\pi/2)} = \pi^{0} = 1.
Depois avaliamos o fator entre parênteses:
\frac{\cos(\pi/2)}{\tfrac\pi2} - \ln\bigl(2\cdot\tfrac\pi2\bigr)\,\sin(\pi/2) = 0 - \ln(\pi)\cdot1 = -\ln(\pi).
Portanto
y'\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = 1 \cdot \bigl(-\ln(\pi)\bigr) = -\ln(\pi).

Passo 4

A reta tangente em x_0=\tfrac\pi2 tem equação ponto-declive:
y - y_0 = y'(x_0)\,(x - x_0) \quad\Longrightarrow\quad y - 1 = -\ln(\pi)\Bigl(x - \tfrac\pi2\Bigr).
Isolando y:
y = 1 - \ln(\pi)\Bigl(x - \tfrac\pi2\Bigr).

Resposta

A equação da reta tangente em x=\tfrac\pi2 é
y = 1 - \ln(\pi)\Bigl(x - \tfrac\pi2\Bigr).

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