Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de x >= 12, y=-x+2 e y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano limitada pelas curvas y=-x+2 e y=x^2 para x >= tfrac12. O conteúdo aqui é “área entre curvas”: vamos encontrar os pontos de interseção, determinar qual função está acima da outra em [tfrac12,,xrm int] e depois usar
área = integrala^bl(superior - inferiorr),dx á

Passo 2

Calculamos as interseções resolvendo
x^2 = -x + 2
Longrightarrow x^2 + x - 2 = 0
Longrightarrow x = -1 pm raiz1+82 = 1 ou -2
Como queremos x>= tfrac12, o ponto relevante é x=1.

Passo 3

No intervalo de integração xin[tfrac12,1] comparamos as duas funções:
para x=tfrac12 temos -x+2=1,5 e x^2=0,25, logo y=-x+2 está acima de y=x^2.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da área entre curvas:
A = integraltfrac12^1l[(-x+2)-x^2r],dx

Passo 5

Calculamos a integral. Uma primitiva de -x+2 - x^2 é
F(x) = -x^22 - x^33 + 2x
Logo
A = F(1) - Fl(tfrac12r) = l(-tfrac12 - tfrac13 +2r) - l(-tfrac18 - tfrac124 +1r) = 76 - 56 = 13

Resposta

A área da região é 13.

Exercícios relacionados