Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 2(x+2)(x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 2(x+2)(x-1),dx
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais: vamos escrever a função racional como soma de termos mais simples que conhecemos a integral.

Passo 2

Suponha
2(x+2)(x-1) ;=;Ax+2+Bx-1,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x-1), obtemos a identidade
2 ;=;A(x-1)+B(x+2)

Passo 4

Expandindo o lado direito e agrupando termos em x, fica
2 = (A+B),x ;+;(2B - A)
Igualando coeficientes de x e termos constantes, formamos o sistema
A + B = 0, 2B - A = 2

Passo 5

Da primeira equação segue A=-B. Substituindo em 2B - A = 2
2B - (-B) = 2 Longrightarrow 3B=2 Longrightarrow B=tfrac23, A=-tfrac23

Passo 6

Portanto
2(x+2)(x-1) =;-23,1x+2 ;+;23,1x-1

Passo 7

Integramos termo a termo, lembrando que
integral 1x+a,dx = lnlvert x+arvert + C
Então
integral -tfrac23,dxx+2 = -tfrac23lnlvert x+2rvert, integral tfrac23,dxx-1 = tfrac23lnlvert x-1rvert

Passo 8

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

-tfrac23,lnlvert x+2rvert ;+;tfrac23,lnlvert x-1rvert + C

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