Calcule a área da região R compreendida pela parábola y=x^2-1 e pela reta y=x+1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela parábola
y = x^2 - 1
e pela reta
y = x + 1
Para resolver, vamos usar o conceito de área entre duas curvas: se numa faixa [a,b] a função f(x) fica acima de g(x), então
área = integrala^b l(f(x) - g(x)r),dx á

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2 - 1 = x + 1
que leva a
x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow (x-2)(x+1)=0
Logo, as abscissas de interseção são x=-1 e x=2.

Passo 3

Para ver quem está acima, basta testar um valor entre -1 e 2, por exemplo x=0:
,yparábola=-1á e yreta=1.
Isso mostra que, em [-1,2], a reta y=x+1 fica acima da parábola y=x^2-1.

Passo 4

Montamos então a integral da diferença entre as curvas de x=-1 até x=2:
área = integral-1^2 l[(x+1) - (x^2-1)r],dx = integral-1^2 l(-x^2 + x + 2r),dx á

Passo 5

Calculamos a primitiva de -x^2 + x + 2:
integral l(-x^2 + x + 2r),dx = -x^33 + x^22 + 2x
Agora avaliamos de -1 a 2:
l[-tfracx^33 + tfracx^22 + 2xr]-1^2 = l(-tfrac83 + 2 + 4r) - l(tfrac13 + tfrac12 - 2r) = 103 - l(-tfrac76r) = 103 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área da região R é 92.

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