Calcule o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide z=3 x^2+15 y^2, abaixo pelo plano z=0 e lateralmente por y=x^2 e y=x^2-2 x+4, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, no primeiro octante, está abaixo do paraboloide
z = 3x^2 + 15y^2
e acima do plano z=0, limitado lateralmente pelas curvas
y = x^2 e y = x^2 - 2x + 4
Para encontrar esse volume, vamos usar a fórmula de integração dupla no plano xy:
V = integral duplaD l(3x^2 + 15y^2r),dA,
onde D é a projeção do sólido no plano xy.

Passo 2

Precisamos descrever a região D em coordenadas x,y.
  1. Como é primeiro octante, temos x>=0 e y>=0.
  2. As curvas se cruzam em
x^2 = x^2 - 2x + 4 ;Longrightarrow; -2x + 4 = 0 ;Longrightarrow; x = 2,
com y = x^2 = 4.
3. Para 0<= x<=2, verifica-se que
x^2 <= x^2 - 2x + 4,
logo y varia de y = x^2 até y = x^2 - 2x + 4.
Portanto
V = integralx=0^2 integraly=x^2^,x^2-2x+4 l(3x^2 + 15y^2r),dy,dx

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em y:
integraly=x^2^,x^2-2x+4 l(3x^2 + 15y^2r),dy = 3x^2l[(x^2-2x+4)-x^2r] + 15integralx^2^,x^2-2x+4 y^2,dy
Note que (x^2-2x+4)-x^2 = -2x+4, e
15integralx^2^,x^2-2x+4 y^2,dy = 15[y^33]y=x^2^,y=x^2-2x+4 = 5l((x^2-2x+4)^3 - x^6r)
Assim o resultado interno é
3x^2(-2x+4) ;+; 5l((x^2-2x+4)^3 - x^6r)

Passo 4

Expandindo (x^2-2x+4)^3 e simplificando, chega-se a um polinômio em x:
(x^2-2x+4)^3 - x^6 = -6x^5 + 24x^4 - 56x^3 + 96x^2 - 96x + 64,
e multiplicando por 5 e somando 3x^2(-2x+4)=12x^2-6x^3, obtemos
underbrace-30x^5 + 120x^4 - 286x^3 + 492x^2 - 480x + 320f(x)
Logo
V = integral0^2 f(x),dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral0^2 l(-30x^5 + 120x^4 - 286x^3 + 492x^2 - 480x + 320r),dx = l[-5x^6 + 24x^5 - tfrac1432x^4 + 164x^3 - 240x^2 + 320xr]0^2
Avalia em x=2:
-5cdot2^6 + 24cdot2^5 - tfrac1432cdot2^4 + 164cdot2^3 - 240cdot2^2 + 320cdot2 = 296

Resposta

O volume do sólido é 296.

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