Calcule o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo plano
e lateralmente por
e
, no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que, no primeiro octante, está abaixo do paraboloide
e acima do plano
, limitado lateralmente pelas curvas
Para encontrar esse volume, vamos usar a fórmula de integração dupla no plano
:
onde
é a projeção do sólido no plano
.
Passo 2
Precisamos descrever a região
em coordenadas
.
- Como é primeiro octante, temos
e . - As curvas se cruzam em
com
.
3. Para , verifica-se que
3. Para
logo
varia de
até
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Primeiro fazemos a integral em
:
Note que
, e
Assim o resultado interno é
Passo 4
Expandindo
e simplificando, chega-se a um polinômio em
:
e multiplicando por
e somando
, obtemos
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Avalia em
x=2 :
Resposta
O volume do sólido é
296 .