Monte uma integral dupla que fornece o volume do sólido limitado lateralmente por y=16x, y=x e x=8, acima por z=x^2 e abaixo por z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, no espaço (x,y,z), está limitado lateralmente pelas superfícies
y = 16x, y = x, x = 8,
acima pela superfície
z = x^2
e abaixo pelo plano
z = 0
Para montar a integral dupla de volume, precisamos projetar esse sólido no plano xy, determinando a região R sobre a qual integraremos a função altura z = x^2.

Passo 2

Determinamos a curva de interseção entre y = x e y = 16/x resolvendo
x = 16x Longrightarrow x^2 = 16 Longrightarrow x = 4
(consideramos x>0 pois a curva y=16/x está só para x>0). Assim, a região R no plano xy é dada por
4 ,<= x ,<= 8, 16x,<= y ,<= x

Passo 3

O volume V do sólido é a integral dupla da altura z = x^2 sobre a região R. Em coordenadas cartesianas, isso dá
V = integral duplaR x^2 ,dA
Escrevendo em iteração por x primeiro, temos:

Resposta

V = integralx=4^8 integraly=16x^y=x x^2 ,dy,dx

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