Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
raiz[5]x-1

Passo 1

Resumindo: queremos expandir
f(x) = raiz[5]x-1 = (x-1)^tfrac15
em série de potências em torno de x=0, usando a série binomial, e determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, note que para |x|<1 temos x-1<0 e, como a raiz quinta é ímpar,
(x-1)^tfrac15 = -l(1 - xr)^tfrac15
Assim basta expandir ,(1 - x)^tfrac15 e multiplicar por -1.

Passo 3

Lembrando a série binomial para alpha=tfrac15 e |u|<1,
(1 + u)^alpha = sumn=0^infty binomalphan ,u^n, binomalphan = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!
Aqui tomamos u = -x, logo
(1 - x)^tfrac15 = sumn=0^infty binomtfrac15n(-x)^n

Passo 4

Multiplicando por -1, obtemos a expansão de f(x):
f(x) = (x-1)^tfrac15 = -sumn=0^infty binomtfrac15n(-x)^n = sumn=0^infty (-1)^,n+1binomtfrac15n,x^n

Passo 5

Para ilustrar, os primeiros termos são
binomtfrac150=1, binomtfrac151=tfrac15, binomtfrac152=tfrac15(tfrac15-1)2!=-425cdot12,
portanto
f(x) = -(1) + l(-1)^2tfrac15,x + (-1)^3l(-tfrac450r)x^2 + cdots = -1 + tfrac15,x + tfrac450,x^2 + cdots

Passo 6

O raio de convergência dessa série binomial é dado pela condição |u|<1, ou seja |-x|<1, isto é
boxedR = 1

Resposta

(x-1)^tfrac15 = sumn=0^infty (-1)^,n+1binomtfrac15n,x^n, com raio de convergência R=1 ê

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