(a) Expanda
como uma série de potências.
(b) Utilize a parte (a) para estimar
com precisão de três casas decimais.
(b) Utilize a parte (a) para estimar
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) expandir a função
em série de potências (ou seja, encontrar a fórmula geral dos coeficientes de ); - (b) usar essa expansão para estimar
(isto é, com ) com três casas decimais de precisão.
Conteúdo: desenvolvimento em série de Taylor (ou binomial) e critério de convergência/erro.
Passo 2
Usamos a expansão binomial generalizada para expoente
:
onde
Logo, para
:
Portanto
Passo 3
Extraindo os primeiros termos dessa série:
Passo 4
Para estimar
, tomamos
e somamos termos até o quarto, verificando que o quinto termo já é menor que
, garantindo erro abaixo de
.
Cálculos:
Cálculos:
Somando até
:
Incluindo
dá
. Como
, a aproximação até
já atinge três casas decimais estáveis. Arredondando para três casas decimais obtemos
.
Resposta
(a)
(b)
.