(a) Expanda 1 / raiz1+x como uma série de potências.
(b) Utilize a parte (a) para estimar 1 / raiz1,1 com precisão de três casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) expandir a função l(1+xr)^-1/2 em série de potências (ou seja, encontrar a fórmula geral dos coeficientes de sumn=0^inftyan x^n);
  • (b) usar essa expansão para estimar tfrac1raiz1,1 (isto é, com x=0,1) com três casas decimais de precisão.
    Conteúdo: desenvolvimento em série de Taylor (ou binomial) e critério de convergência/erro.

Passo 2

Usamos a expansão binomial generalizada para expoente alpha=-tfrac12:
(1+x)^alpha = sumn=0^infty binomalphan,x^n,
onde
binomalphan = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!
Logo, para alpha=-tfrac12:
binom-tfrac12n = (-tfrac12)(-tfrac12-1)cdots(-tfrac12-n+1)n! = (-1)^n (2n)!(2^n,n!)^2
Portanto
1raiz1+x = (1+x)^-tfrac12 = sumn=0^infty (-1)^n (2n)!(2^2n(n!)^2),x^n

Passo 3

Extraindo os primeiros termos dessa série:
1raiz1+x = 1 - tfrac12,x + 38,x^2 - 516,x^3 + 35128,x^4 - cdots

Passo 4

Para estimar tfrac1raiz1,1, tomamos x=0,1 e somamos termos até o quarto, verificando que o quinto termo já é menor que 3times10^-5, garantindo erro abaixo de 5times10^-4.
Cálculos:
T0 = 1, T1 = -tfrac12cdot0,1 = -0,05, T2 = tfrac38cdot(0,1)^2 = 0,00375,
T3 = -tfrac516cdot(0,1)^3 = -0,0003125, T4 = tfrac35128cdot(0,1)^4 approx 0,0000273
Somando até T3:
1 - 0,05 + 0,00375 - 0,0003125 = 0,9534375
Incluindo T4 0,9534648. Como T4<3times10^-5, a aproximação até T3 já atinge três casas decimais estáveis. Arredondando para três casas decimais obtemos 0,953.

Resposta

(a) 1raiz1+x = sumn=0^infty (-1)^n (2n)!2^2n(n!)^2,x^n = 1 - tfrac12x + tfrac38x^2 - tfrac516x^3 + cdots
(b) 1raiz1,1approx0,953.

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